seção curiosidade
Ficha de Reflexão
O Que é a
Matemática?
| "A matemática não é
apenas outra linguagem: é uma linguagem mais o raciocínio; é uma linguagem mais a lógica; é um instrumento para raciocinar".
Richard P. Feynman
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Como surgiu
a matemática?
As origens
da matemática perdem-se no tempo. Os mais antigos registos matemáticos de que se tem
conhecimento datam de 2400 a.C. Progressivamente, o homem foi reflectindo acerca do que se
sabia e do que se queria saber. Algumas tribos apenas conheciam o "um",
"dois" e "muitos". Os seus problemas do quotidiano, como a contagem e
a medida de comprimentos e de áreas, sugeriram a invenção de conceitos cada vez mais
perfeitos. Os "Elementos" do grego Euclides (séc. IV a.C.) foram dos primeiros
livros de matemática que apresentaram de forma sistemática a construção dos teoremas
da geometria e foram utilizados no ensino em todo o mundo até ao século XVII. Mesmo a
antiquíssima Astrologia proporcionou o desenvolvimento da matemática, ao exigir a
construção de definições e o rigor no cálculo das posições dos astros.
A matemática começou por ser "a ciência que tem por objecto a medida e as
propriedades das grandezas" (dicionário), mas actualmente é cada vez mais a
ciência do padrão e da estrutura dedutiva. Como afirmou P. Dirac, as matemáticas são a
ferramenta especialmente adaptada ao tratamento das noções abstractas de qualquer
natureza e, neste domínio, seu poder é ilimitado.
A etnomatemática é um ramo recente da matemática que investiga conhecimentos
matemáticos populares ([ 2] p.p. 27-47). E podemos afirmar que todos os povos têm alguns
conhecimentos de matemática, mesmo que sejam muito intuitivos tais como medições,
proporções, desenhos geométricos que se vêem no artesanato (como a cestaria).
A matemática sempre desempenhou um papel único no desenvolvimento das sociedades (Ap.
A). Por exemplo, numa situação de guerra, o exército que possui mais conhecimentos de
matemática tem maior poder traduzido nas máquinas mais perfeitas e melhor adaptadas.
Até ao séc. XVI apenas as pessoas com dinheiro ou os sacerdotes poderiam despender tempo
no estudo da matemática. De há quatrocentos anos para cá, a monarquia e o clero
deixaram de ser os únicos que financiaram a matemática, passando este papel a ser
desempenhado pelas universidades e pelas empresas (como por exemplo a IBM). Ao contrário
do que muitos pensam, a matemática não consiste apenas em demostrar teoremas ou
em fazer contas, ela um autêntico tesouro para a civilização devido aos diversos
conhecimentos envolvidos. E sabendo isso, actualmente poucos são os países em que não
se cria matemática nova, publicando-se assim em todo o mundo alguns milhares de revistas
exclusivamente de matemática.
Onde podemos
encontrar a matemática?
Nos livros, filmes, desenhos, computadores e um pouco por toda a natureza.
Poderemos ver um "segmento de recta" na aresta de um edifício, uma
circunferência vê-se na ondulação da superfície da água quando deixamos cair um
objecto, uma secção da elipse pode ser observada na parede de um poço redondo iluminado
pelo sol, as sombras dos objectos representam figuras geométricas, na disposição das
pétalas de uma flor podem encontrar-se simetrias, o batimento cardíaco pode ser um
exemplo de uma sucessão, o ar move-se num percurso espiralado, etc. "O estudo
aprofundado da natureza é a fonte mais fecunda das descobertas matemáticas" (Joseph
Fourrier). Assim, até parece que "o universo impôs a matemática à humanidade"
([ 1] p76).
"Aquela por vezes cristalina [ ...] e por vezes difusa substância [ ...] que é a matemática" (Imre Lakatos), trata de figuras, sólidos e suas propriedades na Geometria; sintetiza problemas do comércio, seguros e finanças através da Álgebra e da Análise; estuda e estrutura dados com a Estatística; desenvolve a Química e a Física com a Análise; estuda os percursos rodoviários e aéreos com a Teoria de grafos; apoia a estrutura das línguas com a Lógica. A esta matemática que é utilizada fora de si mesma chama-se matemática aplicada. E milhares de outras subcategorias da matemática podem aplicar-se a diversos outros saberes (Ap. C). Até a investigação criminal poderia bem ser considerada um ramo da matemática, como chegou a afirmar Conan Doyle.
Mas muita matemática que se faz actualmente não é imediatamente aplicável, podendo vir
a ser um forte contributo para as teorias de outros saberes ou a ficar para
sempre esquecida.
A matemática é cada vez menos fruto do trabalho isolado de uma pessoa. Mas antes resulta
de um grupo de matemáticos ou das relações profissionais entre várias pessoas. Ou
ainda, é um esforço que pode demorar séculos.
Ao longo da história muitos homens contribuíram significativamente para o seu
desenvolvimento (Ap. B). O trabalho de um foi analisado por outro matemático e assim
sucessivamente até ao presente, sendo muitas vezes melhorado.
Nem sempre o que um matemático faz está correcto. Ele também se engana. Não é um ser
superior nem vive em casulos. E quando um erro lhe é apontado, verifica, reconhece-o e
agradece com delicadeza.
Que ferramentas são necessárias para a investigação matemática? Muitos podem
pensar que é suficiente um lápis e muita massa cinzenta. Mas a matemática não é feita
apenas dentro da cabeça. Há muitos utensílios que auxiliam a sua produção: o compasso
desenha circunferências; a régua traça segmentos de rectas;o esquadro desenha
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ângulos; o transferidor mede a
amplitude de um ângulo; o pantógrafo desenha figuras semelhantes; a calculadora efectua
cálculos; . . . ; o computador representa objectos impossíveis.
Uma ferramenta cada vez mais precioso é o computador. Com ele é agora possível fazer
cálculos que um homem levaria anos a fazer. Com estes instrumentos, a matemática também pode construir realidades.
A
matemática e os outros saberes
O conhecimento matemático distingue-se de todos os outros saberes pelo seu carácter
abstracto. As suas definições são fixas e existem num mundo coeso e imaginário.
Mas os conceitos matemáticos estão intimamente relacionados com a vivência e a
percepção das coisas, originando por vezes algumas "aparentes" contradições:
o zero (0) impõe uma existência de notação para o que não existe, para o nada;
os números negativos demonstram uma contagem do que não se tem, dos débitos; o infinito
(¥ ) é um conceito do que está para além de tudo, mas é tratado como se fosse um
número; etc. As definições matemáticas existem e têm significado na matemática.
Mas alguém alguma vez desenhou uma recta? Uma esfera? Um quadrado? Não!!
Os conceitos matemáticos são aproximações mais ou menos adequadas à realidade. Esta
é muito mais complexa. E quem aplica a matemática à realidade deverá ter sensatez e
sabedoria. Deste modo, a criação matemática e a sua utilização depende da sociedade e
dos seus valores.
O matemático Hersh afirmou que a abstracção é a alma da matemática. Partindo
de algumas ideias ou princípios e tendo por base algumas regras bem definidas, criam-se
novas definições das quais muitas vezes se inferem propriedades. O alemão Novalis
chegou mesmo a afirmar que a matemática pura é uma religião, porque um conhecimento
matemático depois de demonstrado e aceite pela comunidade cientifica é usado como certo
por qualquer um, é coerente e raramente é posta em causa. No Livro "The
Analyst" em 1734, o bispo e matemático George Berkeley mostrou que a matemática é
imperfeita e errónea (o que permitiu mais tarde que outros matemáticos a tenham
desenvolvido). Apesar de alguns dos seus fundamentos serem postos em causa, como o método
de demonstração de teoremas, a matemática continua a ser a ciência do rigor e da
ordem. E podemos considerar a matemática como o cimento unificador de todos os saberes.
A
matemática na escola
A matemática que se estuda na escola aplica-se facilmente às necessidades quotidianas. Isto é obvio até ao 9º ano mas no ensino secundário parece que ela não tem tanta utilidade. Mas não é por acaso que se estuda matemática nas escolas.
Antes de mais, ela é útil para
promover o pensamento estruturado e o raciocínio rigoroso. Por outro lado, a sociedade
evoluiu exigindo cada vez mais conhecimentos matemáticos a todos os cidadão. Um
arquitecto dirá que a Matemática é útil para auxiliar a percepção e a criação da
beleza; um engenheiro dirá que é útil para reforçar e aprovar experiências; um
físico dirá que é útil por ser a linguagem da ciência; um político dirá que a
Matemática orienta-o na administração e na implementação de leis; um psicólogo
afirmará que auxilia-o no tratamento estatístico de inquéritos; um matemático
mostrará que um corpo matemático é útil quando for aplicável a outro corpo. A
matemática é um saber necessário a todas as disciplinas e ciências, devido ao seu
rigor. Deste modo se mostra que as outras ciências não se desenvolveriam se a
matemática não existisse e não fosse estudada. Podemos considerar que a aprendizagem da matemática nas escolas é paralela ao desenvolvimento da humanidade. O Homem há 10 mil anos mal sabia contar e agora calcula a trajectória de um satélite. De modo semelhante, uma criança aprende a contar com 6 anos e ao longo da sua adolescência vai aprendendo em pouco tempo aquilo que levou anos e anos a ser inventado. A matemática conhecida por um aluno do 9º ano impressionaria o rei D. Afonso V e certamente o convidaria para trabalhar na corte.
Saber
matemática
Para saber matemática é indispensável conhecer as suas definições e saber
utilizá-las adequadamente. Ao longo do estudo, cada vez são necessárias mais
definições que utilizam as já conhecidas. Por isso, não saber a tabuada dificulta ou
impossibilita o cálculo das operações com números relativos e depois prejudicará a
resolução de equações e mais tarde o estudo de funções, . . . A matemática é como
um grande arranha-céus: se esqueces as bases podes perder o prédio todo. As definições
da matemática são elementares mas relacionadas. Enquanto se estuda matemática vai-se
conhecendo as definições, alguns exemplos, observações e finalmente resolve-se
exercícios.
Para saber matemática é necessário estudar, estudar, estudar. É este o segredo do
sucesso.
Vamos explorar algumas definições que traduzem o que acabámos de ver.
Pega num papel e num lápis e faz uns riscos.
Certamente alguns deles são segmentos de recta ou curvas.
Agora desenha uma linha constituída por segmentos de recta unidos cada um a cada um pelas
extremidades. Se uma formiga percorrer esta figura plana e voltar ao ponto de partida sem
precisar de saltar, chamamo-lhe linha poligonal fechada ou polígono. Se a formiga
tiver que saltar uma vez, chamamo-lhe linha poligonal aberta.
Vamos estudar as linhas poligonais começando pela mais simples.
Desenha dois segmentos de recta unindo duas extremidades. Obténs uma porção de um
ângulo que não forma um polígono. Desenha um polígono constituído por três segmentos
de recta (chamamo-lhe triângulo). E assim sucessivamente, desenhas um quadrilátero
(4 lados), um pentágono (5 lados), um hexágono (6 lados), etc.
O que podemos descobrir em cada uma destas figuras? Podemos classificar (dar um nome) o
polígono tendo em consideração o comprimento dos lados. Podemos estudar os seus
ângulos. Ou estudar os seus perímetros. Ou as suas áreas. Ou desenhar segmentos de
recta unindo os seus vértices e estudar a nova figura obtida. Ou . . .
Desta forma vamos conhecendo e tirando conclusões, que podem vir a ser chamadas de
fórmulas, propriedades, teoremas ou apenas exercícios. E assim fazemos matemática.
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